将军饮马模型攻略:和4类题对比

将军饮马模型攻略:和4类题对比

将军饮马模型攻略最要紧的不是多刷,而是分清它和垂线段最短、三角形不等式、费马点等题型的边界。很多孩子错题不是不会算,是把模型套错了。下面用问答方式,把常见混淆点一次说清。

问:它和“垂线段最短”有什么不同?

垂线段最短解决的是“点到直线的最短距离”,只走一段路,答案通常是垂足。将军饮马模型解决的是“两段路之和最短”,中间点被限制在一条直线上。

举个实在的判断法:题目如果问从A到直线l最近,那找垂足;如果问从A到l上一点P再到B,求AP+PB最小,那就优先想到反射。一个是一段,一个是两段,别混。

问:它和三角形不等式是不是一回事?

关系很近,但不完全一样。将军饮马模型最后之所以成立,底层靠的是“两点之间线段最短”,也可以用三角形不等式解释。但做题时,真正好用的动作是作对称。

只说三角形不等式,很多同学知道AP+PB≥AB,却不知道P该放哪里。反射以后,把AP变成A'P,问题就成了A'P+PB≥A'B,交点自然出现。攻略就一句:证明靠不等式,找点靠对称。

问:和费马点题怎么区分?

费马点一般是在平面内找一点,使到三个顶点距离和最小,动点没有被限制在某条直线上。将军饮马模型的动点通常在直线、线段、边界上。

所以看到“在边上找点”“在河岸上找点”“在墙上找点”,别往费马点上跑。费马点常牵涉120°,而饮马模型多牵涉轴对称和入射反射角相等。

问:和镜面反射题哪个更好用?

镜面反射题其实是将军饮马模型的物理外壳。光从A点打到镜面再到B点,路径最短时入射角等于反射角;数学上就是把B或A关于镜面反射,再连直线。

如果题目强调光线、台球、反射,画法仍然一样。不同的是,物理题可能还会要求角度说明;几何题则更看重证明距离和最小。换汤不换药,但答题语言要跟着场景走。

问:考试里怎样最快判断该不该用?

看三个信号:一是有一个动点被限制在直线上;二是目标是两段或多段距离和最小;三是图形里出现对称线、边界、河岸、墙面、镜面。三条中满足两条,基本就可以试反射。

不过攻略也要有刹车。若题目限制的是面积最大、角度最小、周长固定,那不一定是饮马模型。别看到“最短”就硬套,先问自己:能不能把折线变成直线?能,才值得用。

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常见问题

将军饮马模型攻略里最常用的步骤是什么?

先确定动点所在直线,再选一个端点作关于这条直线的对称点,连接对称点和另一个端点,交点就是候选最短点。

为什么有时反射A,有时反射B?

单条直线时反射A或B通常都可以,结果等价。多条直线时要顺着路径顺序反射,不能随手选。